ενημέρωση 5:34, 8 August, 2026

Στα μαθηματικά υπάρχει Θεός

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή
 
Στα μαθηματικά υπάρχει Θεός
 
Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί τους φιλοσόφους και τους θεολόγους εδώ και δεκάδες αιώνες. Ξαφνικά πριν από λίγους μήνες εμφανίστηκε η είδηση ότι δύο ευρωπαίοι μαθηματικοί, χρησιμοποιώντας έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή και τη σχετική θεωρία του αυστριακού μαθηματικού Κουρτ Γκέντελ, κατάφεραν να αποδείξουν μαθηματικά την ύπαρξη του Θεού! Το τι ακριβώς απέδειξαν και με ποιον τρόπο σχετίζεται άμεσα με την κατανόηση της Μαθηματικής Λογικής και των κανόνων που τη διέπουν.
 
Το θεώρημα του Θεού
Λίγο πριν από τον θάνατό του ο μεγάλος αυστριακός μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) δημοσιοποίησε μια μαθηματική απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού την οποία επεξεργαζόταν επί 30 χρόνια. Η απόδειξη αυτή βασίζεται στη σύγχρονη αξιωματική θεμελίωση των Μαθηματικών, η οποία με τη σειρά της αποτελεί συνέχεια της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης και της Γεωμετρίας του Ευκλείδη. Σε αυτόν τον τρόπο θεμελίωσης ξεκινάμε με τη διατύπωση αξιωμάτων, δηλαδή υποθέσεων που δεν αποδεικνύονται αλλά φαίνονται προφανείς. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των αξιωμάτων και της Μαθηματικής Λογικής, μπορούμε να αποδείξουμε θεωρήματα και να οικοδομήσουμε μια ολόκληρη θεωρία. Για παράδειγμα, ένα από τα πέντε αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι το ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Ο Γκέντελ προσπάθησε να «αποδείξει» την ύπαρξη του Θεού ως ένα θεώρημα ξεκινώντας από ένα σύνολο πέντε αξιωμάτων που φαίνονται «προφανή» στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής.

Η «απόδειξη» αυτή φάνηκε εξαρχής ότι είχε δύο αδύνατα σημεία. Πρώτον, είναι άραγε τα αξιώματα όντως προφανή και, δεύτερον, είναι άραγε συμβατά μεταξύ τους ώστε να μην έχουν κρυφές ασυνέπειες; Για το πρώτο δεν μπορούμε να κάνουμε και πολλά πράγματα, αφού τα αξιώματα στα Μαθηματικά μπορεί να φαίνονται «λογικά» αλλά κατά τα άλλα είναι αυθαίρετα, οπότε ο Θεός υπάρχει αν τα αξιώματα αυτά αληθεύουν. Το δεύτερο όμως αποτέλεσε αντικείμενο έρευνας για πάνω από 40 χρόνια επειδή έπρεπε να αποδειχθεί ότι τα πέντε αυτά αξιώματα δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και άρα είναι αυτοσυνεπή.

Το κατόρθωμα των δύο ευρωπαίων μαθηματικών, του Γερμανού Κρίστοφ Μπεντζμίλερ(Christoph Benzmüller) και του Αυστριακού Μπρούνο Βολτσενλόγκελ Παλέο (Bruno Woltzenlogel Paleo), ήταν ότι κατάφεραν να αναπαραστήσουν τα αξιώματα του Γκέντελ και τους συλλογισμούς του με μαθηματικά σύμβολα. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια εξειδικευμένου λογισμικού που χειρίζεται έννοιες λογικής σε ηλεκτρονικό υπολογιστή, μπόρεσαν αφενός μεν να διαπιστώσουν ότι τα αξιώματα δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και αφετέρου να επιβεβαιώσουν την απόδειξη του θεωρήματος.
 
Ιδέα με αρχαίες βάσεις
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι, πέρα από το καθαρά μαθηματικό μέρος, η βάση της απόδειξης του Γκέντελ περί της υπάρξεως του Θεού δεν ήταν εντελώς καινούργια αφού έμοιαζε με το επιχείρημα του άγγλου θεολόγου και φιλοσόφου του 11ου αιώνα Ανσέλμου του Καντέρμπουρι, το οποίο, με τη σειρά του, βασίζεται στη μέθοδο της «εις άτοπον απαγωγής» των αρχαίων ελλήνων φιλοσόφων και μαθηματικών. Ο συλλογισμός του Ανσέλμου ήταν ο εξής:

1. Ο Θεός είναι η υπέρτατη ύπαρξη.

2. Η ιδέα του Θεού υπάρχει στη σκέψη μας.

3. Μια ύπαρξη που υπάρχει τόσο στη σκέψη όσο και στην πραγματικότητα είναι ανώτερη από μια ύπαρξη που υπάρχει μόνο στη σκέψη.

4. Αν ο Θεός υπήρχε μόνο στη σκέψη μας, τότε θα μπορούσαμε να συλλάβουμε την ιδέα μιας ανώτερης ύπαρξης η οποία υπάρχει και στην  πραγματικότητα.

5.  Αλλά δεν μπορούμε να φανταστούμε μια ύπαρξη ανώτερη από τον Θεό.

6. Αρα ο Θεός υπάρχει στην πραγματικότητα.

Η βασική συνεισφορά του Γκέντελ ήταν η μαθηματική περιγραφή του παραπάνω συλλογισμού και ειδικά των σημείων 3 και 4. Εκεί χρησιμοποίησε την έννοια της πιθανής αλήθειας μιας πρότασης, η οποία επεκτείνει την αριστοτελική λογική που δέχεται ότι μια πρόταση είναι είτε αληθής είτε ψευδής.
 
1+1 κάνουν 2;
Ο Γκέντελ έγινε διάσημος σε νεαρή ηλικία όταν διατύπωσε το περίφημο «θεώρημα της μη πληρότητας». Συνέπεια του θεωρήματος αυτού είναι ότι, στο πλαίσιο της «Απλής Αριθμητικής» των ακεραίων αριθμών, η οποία βασίζεται σε αξιώματα όπως το γνωστό «1+1=2», υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι δυνατόν να διαπιστώσουμε αν αληθεύουν ή όχι βασιζόμενοι μόνο στα αξιώματα αυτά. Οι προτάσεις αυτές χαρακτηρίζονται από μια αυτοαναφορά και το πιο γνωστό ανάλογό τους στο πλαίσιο της απλής λογικής είναι το παράδοξο του αρχαίου έλληνα φιλοσόφου Ευβουλίδη, σύμφωνα με το οποίο «αν κάποιος παραδεχθεί ότι ψεύδεται, αυτό που λέει είναι αλήθεια ή ψέμα;». Η πρόταση αυτή οδηγεί σε φαύλο κύκλο, αφού αν η πρόταση είναι αληθής συμπεραίνουμε ότι ο συνομιλητής μας ψεύδεται ενώ αν η πρόταση είναι ψευδής συμπεραίνουμε ότι ο συνομιλητής μας λέει την αλήθεια. Το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ είχε σοβαρότατες συνέπειες στη θεμελίωση των Μαθηματικών με βάση την αξιωματική μέθοδο, η οποία στη δεκαετία του 1920 φαινόταν ότι θα κατάφερνε να ενοποιήσει όλους τους κλάδους αυτής της επιστήμης σε ένα ενιαίο οικοδόμημα. Παράλληλα όμως υπήρξε ο λόγος που του προσφέρθηκε το 1940 μια θέση στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών του Πρίνστον, όπου και παρέμεινε ως καθηγητής ως τον θάνατό του το 1978. Η συνεισφορά του Γκέντελ στη θεμελίωση της Μαθηματικής Λογικής αναγνωρίστηκε επανειλημμένως, με σημαντικότερο κατά τη γνώμη μου το βραβείο Αϊνστάιν του Ινστιτούτου που του απονεμήθηκε το 1951 από τον ίδιο τον Αϊνστάιν, ο οποίος ήταν συνάδελφός του σε αυτό το ίδρυμα και στενός φίλος του.  

Οι συνθήκες θανάτου του Γκέντελ ήταν πολύ ασυνήθιστες και αποτέλεσαν την έμπνευση για το θεατρικό έργο «Δέκατη έβδομη νύχτα» του Απόστολου Δοξιάδη. Ο Γκέντελ έπασχε από έλκος του δωδεκαδακτύλου και ακολουθούσε, με δική του πρωτοβουλία, μια πολύ αυστηρή δίαιτα. Σιγά-σιγά άρχισε να πιστεύει ότι τον δηλητηριάζουν και κατέληξε να αρνείται να φάει το φαγητό του. Το αποτέλεσμα αυτής της κατάστασης, θα έλεγε κανείς, αποτέλεσε το κορυφαίο λογικό παράδοξο υλοποιημένο - και όχι διατυπωμένο - από τον θεμελιωτή της Μαθηματικής Λογικής. Αν δεν έτρωγε, ήταν σίγουρο ότι ο Γκέντελ θα πέθαινε από ασιτία. Αν έτρωγε ίσως να πέθαινε από δηλητηρίαση - αλλά και ίσως όχι. Ο Γκέντελ, πέρα από κάθε λογική, διάλεξε ενσυνείδητα την πρώτη επιλογή - και πέθανε από ασιτία.

 

Τι απαντά το Facebook για το σκανδαλώδες ψυχολογικό πείραμα σε 700.000 newsfeed

Τι απαντά το Facebook για το σκανδαλώδες ψυχολογικό πείραμα σε 700.000 newsfeed

Ο ιδρυτής της εταιρείας που ανέλαβε την καμπάνια των social media για την εκλογή Ομπάμα το 2008 Clay Johnson ανέφερε στον Guardian: " To πείραμα είναι τρομακτικό. Θα μπορούσε το Facebook να επηρεάσει την ψυχολογία σε μια εκλογική αναμέτρηση εμφανίζοντας viral περιεχόμενο σε προεκλογική περίοδο. Θα μπορούσε η CIA να υποκινήσει επανάσταση στο Σουδάν ασκώντας πιέσεις στο Facebook ώστε να προβάλει περισσότερο περιεχόμενο που θα προκαλεί δυσφορία; Αν ναι τότε πρέπει να αναρωτηθούμε αν αυτό είναι νόμιμο."  

Σύμφωνα με τη μελέτη που δημοσιεύτηκε το Facebook χειραγώγησε το newsfeed των ειδήσεων σε 689.003 χρήστες ώστε να μελετήσει κατά πόσον τα συναισθήματα που διοχετεύονται διαδικτυακά μπορούν να είναι μεταδοτικά. Επί μια εβδομάδα, ορισμένοι χρήστες έβλεπαν στο timeline τους περισσότερες ειδήσεις με θετικό προσανατολισμό στα σχόλια ενώ μια άλλη μερίδα είχε γίνει στόχος της αντίθετης πλευράς.  

Μετά τον τεράστιο αντίκτυπο και τις αντιδράσεις που προκάλεσε χθες η είδηση πως το Facebook διεξήγαγε κάποιου είδους ψυχολογικού πειράματος, ο επιστήμονας που συνέταξε το τεστ αλλά και εκπρόσωποι της εταιρείας σχεδόν υποχρεώθηκαν να δώσουν εξηγήσεις σε μια προσπάθεια να ελαχιστοποιήσουν το θόρυβο.  

Στον απόηχο της έντονης κριτικής από δικηγόρους, ψηφιακούς ακτιβιστές, πολιτικούς, φορείς αλλά χρήστες και χρησιμοποιώντας όπως ήταν φυσικό το Facebook ο επιστημονικός αναλυτής της πλατφόρμας Adam D. I. Kramer ανέφερε χαρακτηριστικά:  

"Πολλοί άνθρωποι ρωτάνε για την διεξαγωγή της μελέτης που πρόσφατα δημοσιεύθηκε και θα ήθελα να δώσω μια σύντομη δημόσια εξήγηση. Ο λόγος που κάναμε αυτή την έρευνα είναι γιατί νοιαζόμαστε για το συναισθηματικό αντίκτυπο του Facebook και τους ανθρώπους που χρησιμοποιούν το προϊόν μας. Θεωρήσαμε ότι ήταν σημαντικό να διερευνηθεί η κοινή ανησυχία ότι βλέποντας τους φίλους μας να κοινοποιούν θετικό περιεχόμενο οδηγεί τους υπόλοιπους στο να αισθάνονται αρνητικά ή παραγκωνισμένοι. Την ίδια στιγμή, υπήρχε ανησυχία ότι η έκθεση σε στο αρνητικό περιεχόμενο μπορεί να οδηγήσει τους ανθρώπους να αποφεύγουν να επισκέπτονται το Facebook. Εμείς δεν είχαμε αποσαφηνίσει τα κίνητρα μας επισήμως."

Όσον αφορά τη μεθοδολογία ο Adam D. I. Kramer αναφέρει πως η έρευνά διεξήχθη παρεμβάλλοντας στο ελάχιστο στα newsfeed των χρηστών και για πολύ λίγο χρόνο, δίνοντας ως περίοδο διεξαγωγής του "πειράματος" μια μόλις εβδομάδα το 2012.

"Ο στόχος όλων των ερευνών μας στο Facebook είναι να παρέχουμε καλύτερες υπηρεσίες. Έχοντας ο ίδιος οργανώσει και σχεδιάσει αυτό το πείραμα, μπορώ να σας διαβεβαιώσω ότι ο στόχος μας δεν ήταν να σας αναστατώσουμε. Μπορώ να καταλάβω γιατί μερικοί άνθρωποι ανησύχησαν και οι συνεργάτες μου και εγώ λυπούμαστε για τον τρόπο που η γραπτή έκθεση περιέγραψε την έρευνα. Εκ των υστέρων, τα ερευνητικά οφέλη του χαρτιού δεν δικαιολογηθούν όλη αυτή την ανησυχία. Το εν λόγω πείραμα διεξήχθη στις αρχές του 2012, και από τότε έχουμε διανύσει πολύ δρόμο. Οι πρακτικές αυτές θα αναθεωρηθούν λαμβάνοντας υπόψιν και τις αντιδράσεις από την πρόσφατη μελέτη. "

  

Slingshot: το app ανταλλαγής μηνυμάτων του Facebook διαθέσιμο στην Ελλάδα

Slingshot: το app ανταλλαγής μηνυμάτων του Facebook διαθέσιμο στην Ελλάδα

Slingshot: το app ανταλλαγής μηνυμάτων του Facebook διαθέσιμο στην Ελλάδα

Όπως είχαμε αναφέρει, το Facebook δημιούργησε μια δωρεάν εφαρμογή ανταλλαγής εφήμερων μηνυμάτων στα προτυπα του Snapchat, η οποία όμως ήταν διαθέσιμη μόνο για το κοινό των ΗΠΑ.  

Τελικά, κόντρα στις προβλέψεις που την ήθελαν να διατίθεται παγκοσμίως σε ένα διάστημα μηνών, το Facebook ανακοίνωσε μόλις ότι η εφαρμογή του, Slingshot, κυκλοφορεί ήδη σε όλα τα AppStore και Google Play Store του κόσμου.  

Να υπενθυμίσουμε ότι το Slingshot (=σφεντόνα) επιτρέπει στους χρήστες να 'εκσφενδονίζουν' μηνύματα με φωτογραφίες η μικρά βίντεο, στα οποία μπορούν να προσθέσουν κείμενο και ζωγραφιές που δημιουργούν οι ίδιοι. Βασική προύπόθεση για να λάβει ένας χρήστης το εικονομήνυμα, είναι να στείλει κι εκείνος ένα, με τη σειρά του.  

Για να ενεργοποιήσετε την εφαρμογή απαιτείται, όπως στα περισσότερα αντίστοιχα apps, η αποστολή του τηλεφωνικού σας αριθμού.   Δείτε πως λειτουργεί η εφαμογή στο επίσημο βίντεο παρουσίασής του: 

Γιατί οι ανεξάρτητες δισκογραφικές είναι πυρ και μανία με το YouTube;

Γιατί οι ανεξάρτητες δισκογραφικές είναι πυρ και μανία με το YouTube;

Δημοσιεύματα των «Financial Times» και της «Guardian» ανέφεραν στην αρχή της εβδομάδας ότι πολλοί καλλιτέχνες που ανήκουν σε ανεξάρτητες δισκογραφικές εταιρείες κινδυνεύουν να μείνουν εκτός της νέας συνδρομητικής υπηρεσίας streaming μουσικής που ετοιμάζει το YouTube.  

Ονόματα όπως η Adele, οι Arctic Monkeys και o Jack White ενδέχεται να μην συμπεριληφθούν στη νέα υπηρεσία streaming χωρίς διαφημίσεις, εάν δεν δεχτούν τους οικονομικούς όρους που θέτει το YouTube, χωρίς διαπραγμάτευση. Αυτό το γεγονός ώθησε την υπεύθυνη εταιρεία εκπροσώπησης ανεξάρτητων καλλιτεχνών WIN να διαμαρτυρηθεί στην Ευρωπαϊκή Ένωση γι' αυτούς τους σχεδόν εκβιαστικούς όρους.  

Όμως, το YouTube θέτει ακόμα μια παράμετρο στους «ανεξάρτητους»: «Εάν δεν δεχτείτε τους όρους μας, τότε θα απαγορευτεί η χρήση και του παρόντος site για την προώθηση των μουσικών σας βίντεο».  

Οι «Financial Times» επικαλούνται τον υπεύθυνο περιεχομένου της υπηρεσίας, Robert Kyncl, ο οποίος επιβεβαιώνει τα σχέδια του YouTube για τη δημιουργία της νέας συνδρομητικής υπηρεσίας, λέγοντας ότι έχουν κλειστεί συμφωνίες με το 90% των ανεξάρτητων labels παγκοσμίως.   Οι εταιρείες που διαχειρίζονται τα δικαιώματα κι εκπροσωπούν ανεξάρτητους καλλιτέχνες καταγγέλλουν ότι οι πελάτες τους αντιπροσωπεύουν το 32% της παγκόσμιας μουσικής βιομηχανίας. Παράλληλα, στηλιτεύουν τα παχυλά συμβόλαια που έκλεισε το YouTube με τις μεγάλες πολυεθνικές του χώρου, αφήνοντας ψίχουλα, και με εκβιαστικό τρόπο μάλιστα, για τις μικρές, ανεξάρτητες δισκογραφικές εταιρείες. Αυτός ο εκβιασμός συνοψίζεται με τον αποκλεισμό των μουσικών βίντεο από το YouTube που δέχεται ένα δισεκατομμύριο επισκέπτες τον μήνα.  

Η κίνηση του YouTube για το λανσάρισμα μιας συνδρομητικής υπηρεσίας streaming μουσικής που θα δίνει τη δυνατότητα στους χρήστες να κατεβάζουν τα μουσικά βίντεο των τραγουδιών στις mobile συσκευές τους ενισχύει τον ανταγωνισμό στο συγκεκριμένο μοντέλο επί πληρωμής ακρόασης μουσικής.  

Εταιρείες όπως το Spotify, η Beats Music –ιδιοκτησίας Apple–, το Amazon Prime Music και η Google Play Music προσπαθούν να εφεύρουν νέα, επιτυχημένα μοντέλα που θα ωθήσουν και πάλι τους καταναλωτές να πληρώνουν για την ακρόαση μουσικής – ο αγώνας για την επικράτηση προβλέπεται σκληρός. Αλλά εάν ισχύσουν τα παραπάνω, σκληρή και με κυνισμό προβλέπεται και η αντιμετώπιση των μικρών εταιρειών που πασχίζουν να επιβιώσουν, προωθώντας τη μουσική με τους δικούς τους όρους.